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【確率論】(証明)AとBが独立ならばA^cとB,AとB^c,A^cとBは独立である

ここでは確率でのABが独立ならばA^cBは独立であることの証明をします。
AB^c,A^cBは上の証明をヒントにしてやってみましょう。

確認AとBが独立であること

事象ABが独立ならば、下が成立します。

P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)

もっと使いやすくしたのが、

\begin{aligned}P\left( A_{i}\cap A_{j}\right) =P\left( A_{i}\right) P\left( A_{j}\right) , \left( i\neq j\right) \end{aligned}

です。

A^cとBは独立

~問題~
事象ABが独立とします。
つまり、P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)が既に成立しています。

このとき、
A^cBは独立であることを示します。

証明


\begin{aligned}P\left( A^{c}\cap B\right) &=P\left( \left( A\cup B^{c}\right) ^{c}\right)& \\ &=1-P\left( A\cup B^{c}\right)& \\ &=1-\left( P\left( A\right) +P\left( B^{c}\right) -P\left( A\cap B^{c}\right) \right)& \\ &=P\left( B\right) +P\left( A\cap B^{c}\right) -P\left( A\right) &\\&\overset{(1)}{=}P\left( A\cup B\right) -P\left( A\right)& \\ &=P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)& \\ &=P\left( B\right) -P\left( A\right) P\left( B\right)& \\ &=\left( 1-P\left( A\right) \right) P\left( B\right)& \\ &=P\left( A^{c}\right) P\left( B\right)&\end{aligned}

です。
長いですね。苦労しました。

この(1)についてですが、
P\left( B\right) ,P\left( A\cap B^{c}\right)の共通は\phi(空)ですので、和 \cupの形にできます。
つまり、P\left( B\cup \left( A\cap B^{c}\right) \right)ですね。
これは、P\left( A\cup B\right)と同じです。

これで証明終わりです。

他のAB^c,A^cBも挑戦してみましょう。
ただし、『独立』であっても、A\cap B=\phiとは言えないことに注意しましょう。
ここらの操作が難しいですね。

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