【確率論】（証明）AとBが独立ならばA^cとB,AとB^c,A^cとBは独立である

ここでは確率での $A$ と $B$ が独立ならば $A^c$ と $B$ は独立であることの証明をします。
$A$ と $B^c$ , $A^c$ と $B$ は上の証明をヒントにしてやってみましょう。

確認ＡとＢが独立であること
A^cとBは独立
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確認ＡとＢが独立であること

事象 $A$ と $B$ が独立ならば、下が成立します。

$P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)$

もっと使いやすくしたのが、

$\begin{aligned}P\left( A_{i}\cap A_{j}\right) =P\left( A_{i}\right) P\left( A_{j}\right) , \left( i\neq j\right) \end{aligned}$

です。

A^cとBは独立

～問題～
事象 $A$ と $B$ が独立とします。
つまり、 $P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)$ が既に成立しています。

このとき、
$A^c$ と $B$ は独立であることを示します。

証明

$\begin{aligned}P\left( A^{c}\cap B\right) &=P\left( \left( A\cup B^{c}\right) ^{c}\right)& \\ &=1-P\left( A\cup B^{c}\right)& \\ &=1-\left( P\left( A\right) +P\left( B^{c}\right) -P\left( A\cap B^{c}\right) \right)& \\ &=P\left( B\right) +P\left( A\cap B^{c}\right) -P\left( A\right) &\\&\overset{(1)}{=}P\left( A\cup B\right) -P\left( A\right)& \\ &=P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)& \\ &=P\left( B\right) -P\left( A\right) P\left( B\right)& \\ &=\left( 1-P\left( A\right) \right) P\left( B\right)& \\ &=P\left( A^{c}\right) P\left( B\right)&\end{aligned}$

です。
長いですね。苦労しました。

この（１）についてですが、
$P\left( B\right) ,P\left( A\cap B^{c}\right)$ の共通は $\phi$ （空）ですので、和 $\cup$ の形にできます。
つまり、 $P\left( B\cup \left( A\cap B^{c}\right) \right)$ ですね。
これは、 $P\left( A\cup B\right)$ と同じです。