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【複素関数】極形式と偏角＆オイラーの公式（練習問題付き）

数学複素解析

ここでは、複素関数の『極形式とオイラーの公式』について確認します。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

動画解説（YouTube）
極形式
練習問題
応用問題（偏角を求める）
紹介
おわりに＆おすすめ

動画解説（YouTube）

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極形式

複素数 $z=x+i y (\neq 0)$ に対応する点を $(x,y)$ とし、この極座標を $(r,\theta)$ とすると、

$x= r \sin \theta ,y= r \cos \theta$
となる。

このとき、 $z$ は極形式で、
$z=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
と表すことができる。

オイラーの公式を使う場合
オイラーの公式は
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ である。

これを極形式に適用すれば、
$z=re^{i\theta }$
とシンプルにすることもできる。

練習問題

$0\leq \theta <2\pi$ の範囲で考えるとする。

このとき、次の極形式を求めよう
①： $z=1-i$

②： $z=-1-i$

解：①
$1-i=\sqrt{2}\left( \cos \left( -\dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) +i\sin \left( -\dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) \right)$

であり、条件を満たすのは、 $\theta =\dfrac{7}{4}\pi$ であるので、

求める解は、

$1-i=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{7}{4}\pi +i\sin \dfrac{7}{4}\pi \right)$

である。

解：②
$-1-i=\sqrt{2}\left( \cos \left( -\dfrac{3}{4}\pi +2n\pi \right) +i\sin \left( -\dfrac{3}{4}\pi +2n\pi \right) \right)$

であり、条件を満たすのは、 $\theta =\dfrac{5}{4}\pi$ であるので、

求める解は、

$-1-i=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{5}{4}\pi +i\sin \dfrac{5}{4}\pi \right)$

である。

応用問題（偏角を求める）

$\theta$ が $z$ の偏角にあたります。

そこで、まとめの問題として、下の複素数 $z$ の偏角を求めてみましょう。
※ $0\leq \theta <2\pi$ の範囲で考えるとする。

$z=\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}$

解：
$\begin{aligned}z=\dfrac{-2}{1+\sqrt{3}i}&=\dfrac{-2\left( 1-\sqrt{3}i\right) }{\left( 1+\sqrt{3}i\right) \left( 1-\sqrt{3}i\right) }&\\ &=-1+\sqrt{3}i&\end{aligned}$

よって、
$\theta =\dfrac{2}{3}\pi$

紹介

高校数学レベルから大学数学を楽しむことができます。
詳しくは下のまとめ記事にて。
dodgson.hatenablog.com

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数（初心者向け）
≫線形代数（上級者向け）
≫集合位相
 ≫複素関数
 ≫微分方程式
 ≫関数解析
 ≫洋書（初心者向け）
≫洋書（上級者向け）
≫LaTeX効率化・おすすめ本

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