【複素数の応用例】i^10の求め方（ド・モアブルの定理）

ここでは、複素数の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
ド・モアブルの定理を使い、下の①,②の値を求めよう。

①： $i^{10}$
②： $\left( 1+i\right) ^{3}$

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ド・モアブルの定理とは
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ド・モアブルの定理とは

$n \in \mathbb{Z}$ のとき、次が成立する。
$\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

解き方

$z=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
とおく。

①：
$z=i$ となるのは、 $r=1$ と $\theta =\dfrac{\pi }{2}$ のときであるから、
ド・モアブルの定理より、
$\begin{aligned}z^{10}&=1^{10}\left( \cos 10\cdot \dfrac{\pi }{2}+i\sin 10\cdot \dfrac{\pi }{2}\right)& \\ &=1\cdot \left( -1+0\right)& \\ &=-1&\end{aligned}$

②：
$z=1+i$ となるのは、 $r=\sqrt{2}$ と $\theta =\dfrac{\pi }{4}$ のときであるから、
ド・モアブルの定理より、
$\begin{aligned}z^{3}&=\left( \sqrt{2}\right) ^{3}\left( \cos 3\cdot \dfrac{\pi }{4}+i\sin 3\cdot \dfrac{\pi }{4}\right)& \\ &=2\sqrt{2}\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)& \\ &=-2+2i&\end{aligned}$