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【複素数の応用例】i^10の求め方(ド・モアブルの定理)


ここでは、複素数の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
ド・モアブルの定理を使い、下の①,②の値を求めよう。

①:i^{10}
②:\left( 1+i\right) ^{3}

動画解説(YouTube

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ド・モアブルの定理とは

n \in \mathbb{Z}のとき、次が成立する。
\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

解き方

z=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)
とおく。

①:
z=iとなるのは、r=1\theta =\dfrac{\pi }{2}のときであるから、
ド・モアブルの定理より、
\begin{aligned}z^{10}&=1^{10}\left( \cos 10\cdot \dfrac{\pi }{2}+i\sin 10\cdot \dfrac{\pi }{2}\right)& \\ &=1\cdot \left( -1+0\right)& \\ &=-1&\end{aligned}

②:
z=1+iとなるのは、r=\sqrt{2}\theta =\dfrac{\pi }{4}のときであるから、
ド・モアブルの定理より、
\begin{aligned}z^{3}&=\left( \sqrt{2}\right) ^{3}\left( \cos 3\cdot \dfrac{\pi }{4}+i\sin 3\cdot \dfrac{\pi }{4}\right)& \\ &=2\sqrt{2}\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)& \\ &=-2+2i&\end{aligned}

以上。

紹介

高校数学レベルから大学数学を楽しむことができます。
詳しくは下のまとめ記事にて。
dodgson.hatenablog.com

おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数(初心者向け)
≫線形代数(上級者向け)
≫集合位相
≫複素関数
≫微分方程式
≫関数解析
≫洋書(初心者向け)
≫洋書(上級者向け)
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