【複素数の応用例】zの2乗の方程式の解の求め方（極形式）

ここでは、複素数の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
$z^{2}=-1+\sqrt{3}i$
の解を求めよう。

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解説

$z^{2}=-1+\sqrt{3}i$ を極形式で表すと次のようになります。

$-1+\sqrt{3}i=2\left( \cos \dfrac{2}{3}\pi +i\sin \dfrac{2}{3}\pi \right)$
※図を描けばわかる。

また、解の極形式を $z=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$ とすると、
$z^{2}=r^{2}\left( \cos 2\theta +i\sin 2\theta \right)$
となります。

よって、
$2\left( \cos \dfrac{2}{3}\pi +i\sin \dfrac{2}{3}\pi \right)=r^{2}\left( \cos 2\theta +i\sin 2\theta \right)$
であるので、両辺を比較して、
$r^{2}=2,2\theta =\dfrac{2}{3}\pi +2n\pi$
ただし、 $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

すなわち、
$r=\sqrt{2},\theta =\dfrac{\pi }{3}+n\pi$ ,( $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ )
( $\because r >0$ )

$0\leq \theta ＜2\pi$ では $n=0,1$ を考えればよいので、

$n=0$ のとき、
$z=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3}\right) =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2}$

$n=1$ のとき、
$z=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{4}{3}\pi +i\sin \dfrac{4}{3}\pi \right) =-\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2}$

よって、求める解は
$z=\pm \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2}$
である。

紹介

高校数学レベルから大学数学を楽しむことができます。
詳しくは下のまとめ記事にて。
dodgson.hatenablog.com

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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