【中級】ロピタルの定理で二回微分以上に慣れよう～（高校,大学）～

～例題で学ぶ二回微分以上のロピタルの定理～

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はじめに

この記事ではロピタルの定理を例題を使って解説します。

前回の記事の続きなので、そちらから見ることをお勧めします。

前回↓

dodgson.hatenablog.com

第一回目（まずはここから）↓

dodgson.hatenablog.com

※勉強したことの復習のついでに自分なりにまとめたものを載せときます。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

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【中級】例題で学ぶ二回微分以上のロピタルの定理～（高校,大学）～

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}-e}{x}$ を求めよう。

解けたら、下の解答に進もう。

難しかったらすぐに見てもOKだ。

解答

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}=e$ より $\dfrac{0}{0}$ 型。

よって、 $\displaystyle\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}-e}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\left( \left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}-e\right) '\\ =\lim _{x\rightarrow 0}\left( \left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}\right) '\end{aligned}$

$u=\left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}$ とおくと、 $\log u=\dfrac{\log \left( 1+x\right) }{x}$ であり、両辺を微分して、 $\dfrac{u'}{u}=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\log \left( 1+x\right) }{x^{2}}$ よって、 $u'=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\log \left( 1+x\right) }{x^{2}}\cdot \left( 1+x\right) ^{\dfrac{1}{x}}$ より、 $\begin{aligned}\lim\,u'=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\log \left( 1+x\right) }{x^{2}}\cdot e\\ = -\dfrac{e}{2}\end{aligned}$