ルベーグ積分（測度）勉強メモ：有限加法性の証明

～ルベーグ積分（測度）勉強メモ：有限加法性の証明～

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どうも、ドジソンさんです。
今回は『有限加法性の証明』について。

※勉強したことの復習のついでに自分なりにまとめたものを載せときます。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

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～～

$Def$ に

・任意の $A∈F$ に対して $0≦f(A)≦∞$ 、また $f(∅)＝0(…①)$

がある。

この時、 $A_1,…A_n∈F , A_j ∩ A_k = ∅　(j≠k)$ 、つまり非交差であるならば、

$f(\sum_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n f(A_i)\$

が成り立つ。

この証明。

$f(\sum_{n=1}^{∞}A_i)=\sum_{n=1}^{∞}f(A_i)\$ で、

任意の $n$ $\lt$ $m$ に対して $A_m＝∅$ とすると、 $f(∅)=0（…①）$ より、

$f(\sum_{i=1}^{n}A_i)+0=\sum_{i=1}^{n}f(A_i)+0\$ となるので、

$f(\sum_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}f(A_i)\$

でいいだろう。

”有限”というのが着眼点か。

さて、次は単調性の証明でもしてみます（気が向いたら）。

余談。今回初めて数式のため、Tex記法を用いた。

慣れるまで数時間かかったんですね、ﾊｲ

それでは、また。

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