『行列対角化可能&不可能を例題で練習する』ということで今回は、線形代数の復習をします。
初めての方は、参考書などを見ながらやってみましょう。
対角化可能か不可能どうかの見分け方
まずは、固有方程式が重解を持つかどうかで判断します。
この段階で重解を持たなければ、対角化可能です。
ですが、メタい話をすると、これは簡単なので、多くの問題は重解を持つように作られています。
ということで、次に重解を持つとしましょう。
このとき、その固有値に対する固有空間の次元と重複度が等しければ対角化可能、そうでなければ対角化不可能となります。
下の問で確認します。
問1(2×2)
まずは2×2から見ていきましょう。
下の行列は対角化可能でしょうか?
この下に、すぐに答えがあります。
問2(3×3)
次は3×3です。
上の行列は対角化可能でしょうか?
解2
固有方程式は、
です。
重解を持ちますね。
なので、対角化できるかどうか、この段階ではわかりません。
確かめるために、まずは
固有値1の方を見ていきましょう。
このとき、
となっているため、対角化不可となります。
以上。