行列の対角化可能＆不可を例題で練習する【線形代数】

『行列対角化可能＆不可能を例題で練習する』ということで今回は、線形代数の復習をします。
初めての方は、参考書などを見ながらやってみましょう。

まずは、固有方程式が重解を持つかどうかで判断します。
この段階で重解を持たなければ、対角化可能です。

ですが、メタい話をすると、これは簡単なので、多くの問題は重解を持つように作られています。

ということで、次に重解を持つとしましょう。

このとき、その固有値に対する固有空間の次元と重複度が等しければ対角化可能、そうでなければ対角化不可能となります。

下の問で確認します。

まずは2×2から見ていきましょう。

下の行列は対角化可能でしょうか？
$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

この下に、すぐに答えがあります。

固有方程式は、
$\left( \lambda -3\right) \left( \lambda -6\right) =0$
です。

なので、固有値は3,6ですね。

重解もないですので、これに関しては対角化可能とわかります。

ちなみに対角化すると
$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$
となります。

次は3×3です。
$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

上の行列は対角化可能でしょうか？

固有方程式は、
$\left( \lambda -2\right) \left( \lambda -1\right) ^{2}=0$

です。

重解を持ちますね。
なので、対角化できるかどうか、この段階ではわかりません。

確かめるために、まずは
固有値１の方を見ていきましょう。

このとき、
$（固有空間の次元）＝１≠２＝（重複度）$
となっているため、対角化不可となります。

後で問をいくつか追加しておきます。
練習でもどうぞ。

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