【例題付き】距離関数でないことはコレで判断しよう

今回は距離関数でないものを例題とともに確認する。
問題を解いていて詰まったときなどに役立ててほしい。

距離関数とは？
距離関数でない
例題
おわりに

距離関数とは？

簡単に言えば、正値性、対称性、劣加法性の三条件が成立することである。
つまり、

① $d\left( x,y\right) \geq 0,d\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow x=y$

② $d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right)$

③ $d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)$

であればよい。

③の劣加法性は三角不等式とも。
以下、よく使うため、三角不等式とよぶ。

距離関数でない

距離関数でないものについて。
かなりメタい話をすると、大体③の三角不等式を満たしていない場合が多い。

次に①を満たしてないものだろう。 $x^2$ や $x^4$ などが出てきたら、①を疑うべき。

②は考えないで良いだろう（確認は必要）。

例題

上で挙げたものを実際の問で確認する。

ⅰ） $d\left( x,y\right) =\left| x^{2}-y^{2}\right|$

ⅱ） $d\left( x,y\right) =\left| x^{4}-y^{4}\right|$

ⅰ）,ⅱ）は①を満たしていない。
実際、 $x=1,y=-1$ とすれば反例ができる。
※ $x\neq y$ だが、 $d\left( x,y\right) =0$

次。
ⅲ） $d\left( x,y\right) =\left| x-y\right| ^{2}$

ⅳ） $p=\left( x_{1},y_{1}\right) ,q=\left( x_{2},y_{2}\right)$ としたとき、
$d\left( p,q\right) =\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}$

ⅲ）,ⅳ）は③の三角不等式を満たさない反例を作ることができる。
簡単なので、読者への練習問題とする。

おわりに

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