ドジソンの本棚

ブログはシンプルなデザインで。記事検索は上部カテゴリーをお使いください。

【代数学・群】シンプレクティック群(斜交群)がGL_2n(R)の部分群となることの証明

~シンプレクティック群(斜交群)がGL_2n(R)の部分群となることの証明~

f:id:Dodgson:20210117223343j:plain

 

はじめに

この記事は『シンプレクティック群(斜交群)が GL_{2n}\left( \mathbb{R} \right)の部分群となること』の証明をしています。

※勉強したことの復習のついでに自分なりにまとめたものを載せときます。

当然ですが、無断転載は厳禁で。

勉強の際に参考にするのはご自由に。

参考文献

雪江明彦:『代数学1 群論入門』,日本評論社

※間違い、ご指摘などがあれば(https://twitter.com/Dodgson_007)のDMにご連絡ください。お問い合わせフォームからもどうぞ(https://dodgson.hatenablog.com/about

tex記法は時間の都合により使用せず、直接書いたものを画像として載せます。

★2021/05よりLaTeXに対応させました。打ち間違えがありましたらTwitterで連絡ください。

 

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

 

★サイト運営費として寄付をお願いしたいところですが、困難と判断し、代わりに広告を記事上に設置してあります。

今後の活動のためにも『記事内の広告について』ご理解とご協力お願いします。

シンプレクティック群(斜交群)が GL_{2n}\left( \mathbb{R} \right)の部分群となることの証明

シンプレティック群Sp\left( 2n\right)について、 G=GL_{2n}\left( \mathbb{R} \right)の部分群となることを示す。

ここで、Sp\left( 2n\right) =\{ g\in G| ^{t}\!gJ_{n}g= J_{n}\}であり、

f:id:Dodgson:20210525134718p:plain

となる。

1.

^{t}\!1_{G}J_{n}1_{G}=J_{n}

より、1_{G}\in Sp\left( 2n\right)

2.

g,h\in Sp\left( 2n\right)なら、

\begin{aligned}^{t}\!\left( gh\right) J_{n}gh=^{t}\!h^{t}gJ_{n}gh\\ =^{t}\!h\left( ^{t}\!gJ_{n}g\right) h\\ =^{t}\!hJ_{n}h\\ =J_{n}\end{aligned}

より、 gh\in Sp\left( 2n\right)

3.

\begin{aligned}\!^{t}\left( g^{-1}\right) J_{n}g^{-1}=\left(\,\!^{t}\!g\right) ^{-1}\left(\, \!^{t}\!gJ_{n}g\right) g^{-1}\\ =\left( \left(\,\! ^{t}\!g\right) ^{-1}\,\!^{t}\!g\right) J_{n}\left( gg^{-1}\right) \\ =J_{n}\end{aligned}

g^{-1}\in Sp\left( 2n\right)

よってSp\left( 2n\right)は、GL_{2n}\left( \mathbb{R} \right)の部分群である。

別の例:1_{G}\in Sp\left( 2n\right) ,g^{-1}h\in Sp\left( 2n\right)

 

まとめ

 

難しいように見えて解いてみるとそこまでの問題。

別例で挙げたようにg^{-1}h∈Sp(2n) で示すのが楽と言えば楽だが、今回は元の三条件の場合で解いてみた。

次は練習でg^{-1}h∈Sp(2n) で示してみよう。

 

 

おすすめ

ここでは、おすすめ代数入門書の紹介を以下でする。

次の代数の記事に進む場合はスクロールして記事の一番下からどうぞ。

↑①おすすめ★★★

見やすい、分かりやすい。一番初めはこの本からが良いだろう。

↑②おすすめ★

教科書で使われているらしい。安いので買うのもいいが、余裕があるなら①の方がいいと思う。僕としては少し物足りないと感じた。

↑③おすすめ★★

代数学1 群論入門』と同じくらいのレベル。両方使って勉強するのがベスト。

 

【宣伝】おすすめニュースアプリDL!

あなた好みにカスタマイズできる【スマートニュース】

 

 

 

宣伝:アンケート仲間募集中!

>>マクロミルに登録する

宣伝:学生から始めるお小遣い稼ぎ!バイトよりおすすめ!

1日10分からできる!節約・副業でお小遣い稼ぎ!ポイ活ならモッピー

>>https://pc.moppy.jp/entry/invite.php?invite=VKnxe17c

 

おわりに

★この下に関連記事があります。
Twitterやってます、フォローお願いします(https://twitter.com/Dodgson_007
・ブログで間違い箇所があれば、TwitterのDMで教えてください。

 

関連記事

 

次①(数学記事一覧)↓

dodgson.hatenablog.com

次②(代数学)↓

dodgson.hatenablog.com

累計会員数900万人突破!内職/副業/お小遣い稼ぎするならモッピー! 1日10分からできる!節約・副業でお小遣い稼ぎ!ポイ活ならモッピー アプリインストール・ゲームアプリで無料で簡単にポイントが貯まる!楽しくポイ活するならモッピー